【特別編】再・四面体の問題について

というわけで、絶賛間違ってた！120度以上の角を持つ場合、普通に四面体の外に出ちゃうじゃん…。皆気づいてて笑ってたんだろチクショウ…。

というわけで、長野県民ことたっちーとメッセで会議しながら解きました。これで正しいはず！

問題は下記のとおり。一応再筆。
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四面体ABCDにおいて、PA＋PB＋PC＋PDが最小となる点Pを求めよ。

という問題があったとする。
このときこの点Pは四面体ABCDの重心なのか外心なのか、それともそのどちらでもないのか。
全くわからん。
点Pから各点へ単位分の長さ移動した点をabcdとすると、点Pは四面体abcdの重心であり外心であることはわかった。
そして点Pから各頂点ABCDへの単位ベクトルの和が0になることもわかった。
だがそこからどうやって点Pの座標を求めればいいのかわからん。

どなたかこの点Pの求め方を教えてください（切実
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まず先にこのサイトを挙げておきます。

　・m次元ユークリッド幾何学スレまとめ＠ウィキ - 単体応用/角心
　http://www7.atwiki.jp/neetubot/pages/22.html

　この問題、よくよく考えてみると「n次元単体の角心」を求める問題なんですよ。つまり、3次元空間の任意の4点における「シュタイナー点」を求めることができれば、それが点Pになるわけで。…ここに気づかなかったのが今回の落ち度だなぁ。横着して簡単に解けると思ったのが大間違い。まさかユークリッド幾何の世界まで行く羽目になるとは…。

　■問1　点Pは四面体ABCDの重心なのか外心なのか？

　というわけで結局、一般項としては「どちらでもない」が正しいです。シュタイナー点の定義から考えればおｋ。

　■問2　どうやって点Pの座標を求めればいいのか？
　
　一般項としては、参考サイトの4次元方程式を解けばおｋ。

　ただし！「120度以上の角を持つ三角形がある場合」が例外になります。式で言うとcosθ≧～の範囲外。で、この場合は「120度以上の角が1つ以上ある場合、その角を含む面においてシュタイナー点＝頂点を定め、その点を含まない面のフェルマー点との中間距離を求める」でおｋかと。ちょっとここが不安ではあるんですが…。間違ってたら指摘よろ。

　

　というわけで、適当に答えると後で恥をかくの典型でした。恥ずかしぃぃぃぃいいー！あと、無理やり協力させた、長野県民たっちーにも感謝！一人では気づかなかったかもしれん。